miércoles, octubre 03, 2007

El número famoso II

En vista de que llevamos varios días sin ningún post y de que parece que al menos dos personas siguen el minicurso de números enteros me he decidido a escribir el último capítulo.

Lo explicado en los dos capítulos anteriores nos sirve para analizar los que pasaba con el número famoso e incluso para ver una propiedad muy curiosa de los números enteros. En primer lugar, vamos a considerar el saco Z9 que contiene nueve elementos. A saber: [0],[1],[2],[3],[4],[5],[6],[7] y [8]. Y vamos a observar que nosotros escribimos los números según un sistema posicional de base 10. En efecto, el número 54.321, se puede escribir:

54.321= 1+2x10+3x100+4x1000+5x10000.

Vamos a ver lo siguiente, cojamos un número de una sola cifra "a". Entonces, ¿en qué saco []9 la metemos? pues está claro, en el saco [a]. En efecto si a=1,2,3,4,5,6,7 u 8 no es problema y si es 0 o 9 ambos van a la clase [0]=[9].

De la misma forma, supongamos un número de dos cifras "ab". ¿En qué saco metemos a este número?. Obsérvese lo siguiente
  1. ab= b+ 10 a.
  2. llamamos c= a+b.
  3. ab-c= b+10 a-a-b=9a.

Luego ab-c es un múltiplo de 9 y por tanto el saco al que va ab es el mismo que al que va c. Si c es un número de una cifra, hemos terminado. Y si no, podemos volver a realizar el proceso hasta que tengamos un número entre 0 y 9.

Veamos un ejemplo: 98.

  1. 9+8=17 --> 98 y 17 están en el mismo saquito.
  2. 1+7=8 --> 17 y 8 están en el mismo saquito.
  3. Esto es, 98 está en [8]9.

En este caso particular se ve claramente que 98=10x9+8. Sin embargo, para pasar del caso de un dígito al caso de dos dígitos hemos utilizado un método estándar que puede usarse para probar este resultado para un número de cualquier cantidad finita de dígitos. Así pues, hemos probado:

Teorema.- Dado un número entero escrito en decimal (nuestro sistema), la suma de sus cifras representa el resto de su división entera por nueve (es decir, el saquito9 en el que cae).

Creo que ya no es necesario poner preguntas a este respecto. Sólo aclarar lo del truco del 9. Cómo bien dijo güinston, si un número es multiplo de 9 entonces la suma de sus cifras es un múltiplo de 9, pero no solamente esto. Si un número es congruente con n=3 módulo 9 entonces la suma de sus cifras va a ser 3. Y esto es cierto para cualquier número n entre 0 y 9.

Así pues, si cojo un número de m cifras (podeis probar con las 100 primeras cifras decimales del número pi), como vuestra fecha de nacimiento, sus dígitos suman un cierto n entre 0 y 9, y es claro que cuando sumemos las cifras de cualquier reordenación, obtendremos el mismo resultado. Es decir, tendremos dos números que están en el mismo saquito []9. Ahora bien, por definición, la diferencia de los dos números es un múltiplo de 9, es decir, estará en [0]9 y, por tanto, la suma de sus cifras será 9.

Espero no haber sido muy obscuro.

4 comentarios:

  1. Yo creo que te has explicado bien, yo al menos lo he entendido jeje

    Y como ya apuntaba jack, no cabe duda de que se trata de un complot de los número contra nosotros :o

    Así que cuidadiiin! :o

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  2. En efecto, los números satisfacen cantidad de propiedades interesantes. Algunas como esta que os acabo de contar no tiene mucha aplicación, pero hay muchas que se aplican de forma diaria. A los amantes de las estadísticas y de dar porcentajes, les encantarían estas cosas.

    Pero reconozco que poner un post donde explico la divisibilidad y algunas propiedades de los números es más árido que poner un acertijo que todo el mundo conoce o contar algo chocante que no necesita 10 minutos de concentración.

    Afortunadamente para vosotros y para el blog en sí, este es el último post de la serie "congruencias".

    Sin embargo no es el último de la serie "coñazo". Bueno, pero ya me conocéis. Quién sería yo sin este tipo de cosas.

    Agures yogures.

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  3. Interesante y muy bien explicado. Aunque ahora veo claro que me hubiera costado un ratico largo demostrar esto mismo sin conocimientos de congruencias ni nada, jejeje...

    Coñe! me han entrado ganas de estudiar matemáticas, en serio, qué pena no tener más tiempo en la vida... ¡Qué corta se haceeee! Pero voy a intentar repasarme a raticos libres el libraco de mates que me compré por Discoplay, jeje, me apetece. Aunque también tengo a medias el libraco de química, el de biología... y ya me estoy agobiando! xD jajjaa

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  4. jejeje, jd. No pierdas demasiado tiempo con los libros de mates.

    En realidad lo que he puesto en estos post no es la explicación del truco, sino de una propiedad más general, válida no sólo para los múltiplos de 9 sino para todo número.

    Para entenderlo no hacía falta nada más que lo que sabéis. "La suma de las cifras de un número es exactamente lo que sobra cuando lo divides entre 9". A que se entiende sin las congruencias, jeje.

    Solo era una excusa para hablaros de las clases de congruencias. Esos saquitos tan xulos de cuyas propiedades no debo contaros más.

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