Lo explicado en los dos capítulos anteriores nos sirve para analizar los que pasaba con el número famoso e incluso para ver una propiedad muy curiosa de los números enteros. En primer lugar, vamos a considerar el saco Z9 que contiene nueve elementos. A saber: [0],[1],[2],[3],[4],[5],[6],[7] y [8]. Y vamos a observar que nosotros escribimos los números según un sistema posicional de base 10. En efecto, el número 54.321, se puede escribir:
54.321= 1+2x10+3x100+4x1000+5x10000.
Vamos a ver lo siguiente, cojamos un número de una sola cifra "a". Entonces, ¿en qué saco []9 la metemos? pues está claro, en el saco [a]. En efecto si a=1,2,3,4,5,6,7 u 8 no es problema y si es 0 o 9 ambos van a la clase [0]=[9].
De la misma forma, supongamos un número de dos cifras "ab". ¿En qué saco metemos a este número?. Obsérvese lo siguiente
- ab= b+ 10 a.
- llamamos c= a+b.
- ab-c= b+10 a-a-b=9a.
Luego ab-c es un múltiplo de 9 y por tanto el saco al que va ab es el mismo que al que va c. Si c es un número de una cifra, hemos terminado. Y si no, podemos volver a realizar el proceso hasta que tengamos un número entre 0 y 9.
Veamos un ejemplo: 98.
- 9+8=17 --> 98 y 17 están en el mismo saquito.
- 1+7=8 --> 17 y 8 están en el mismo saquito.
- Esto es, 98 está en [8]9.
En este caso particular se ve claramente que 98=10x9+8. Sin embargo, para pasar del caso de un dígito al caso de dos dígitos hemos utilizado un método estándar que puede usarse para probar este resultado para un número de cualquier cantidad finita de dígitos. Así pues, hemos probado:
Teorema.- Dado un número entero escrito en decimal (nuestro sistema), la suma de sus cifras representa el resto de su división entera por nueve (es decir, el saquito9 en el que cae).
Creo que ya no es necesario poner preguntas a este respecto. Sólo aclarar lo del truco del 9. Cómo bien dijo güinston, si un número es multiplo de 9 entonces la suma de sus cifras es un múltiplo de 9, pero no solamente esto. Si un número es congruente con n=3 módulo 9 entonces la suma de sus cifras va a ser 3. Y esto es cierto para cualquier número n entre 0 y 9.
Así pues, si cojo un número de m cifras (podeis probar con las 100 primeras cifras decimales del número pi), como vuestra fecha de nacimiento, sus dígitos suman un cierto n entre 0 y 9, y es claro que cuando sumemos las cifras de cualquier reordenación, obtendremos el mismo resultado. Es decir, tendremos dos números que están en el mismo saquito []9. Ahora bien, por definición, la diferencia de los dos números es un múltiplo de 9, es decir, estará en [0]9 y, por tanto, la suma de sus cifras será 9.
Espero no haber sido muy obscuro.
